Квадруплеты с прицепом

Из Википедии
https://ru.wikipedia.org/wiki/Числа-близнецы

Квадруплеты простых чисел
Четвёрки простых чисел вида ( p , p + 2 , p + 6 , p + 8 )  или сдвоенные близнецы или квадруплеты[11]:
(5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829), (1481, 1483, 1487, 1489), (1871, 1873, 1877, 1879), (2081, 2083, 2087, 2089), (3251, 3253, 3257, 3259), (3461, 3463, 3467, 3469), (5651, 5653, 5657, 5659), (9431, 9433, 9437, 9439), (13001, 13003, 13007, 13009), (15641, 15643, 15647, 15649), (15731, 15733, 15737, 15739), (16061, 16063, 16067, 16069), (18041, 18043, 18047, 18049), (18911, 18913, 18917, 18919), (19421, 19423, 19427, 19429), (21011, 21013, 21017, 21019), (22271, 22273, 22277, 22279), (25301, 25303, 25307, 25309), …
По модулю 30 все квадруплеты, кроме первого, имеют вид (11, 13, 17, 19).
По модулю 210 все квадруплеты, кроме первого, имеют вид либо (11, 13, 17, 19), либо (101, 103, 107, 109), либо (191, 193, 197, 199).

Секступлеты простых чисел
Шестёрки простых чисел вида ( p , p + 4 , p + 6 , p + 10 , p + 12 , p + 16 ) [12]:
(7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), (16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073), (19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433), (43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793) …
По модулю 210 все секступлеты, кроме первого, имеют вид (97, 101, 103, 107, 109, 113).

В квадруплетах видим по модулю 30 цепочки из двух простых близнецов (11, 13, 17, 19).
В секступлетах видим по модулю 30 цепочки из двух простых близнецов (11, 13, 17, 19) и два числа по краям 7,23, которые не создают близнецов (их можно назвать, допустим, псевдо близнецами).
Куда девался близнец (29,31) [зачем-то обидели одного близнеца] объяснение такое. По модулю 30 -> (30k+29,30(k+1)+1) – возникает ступенька по k [просто третий близнец чуть другой внешности]. Попробуем поправить это дело и построить прицеп для третьего близнеца (29,31).

Итак.
База модуля 30 для простых чисел -> 30k+(1,7,11,13,17,19,23,29), k=0,1,2,3,… (1)
База модуля 30 для близнецов -> 30k+(-1,1,11,13,17,19).
30k+(-1,1,11,13,17,19)=30k+(6j-/+1)=6(5k+j)-/+1, где j=0,2,3. (2)
Пропуск j=1 делается, чтобы убрать (5,7) точно так же, как в формуле для квадруплетов.
Следует отметить, что формула (2) содержит все близнецы и только близнецы, исключая всё остальное.
Выпишем начало последовательности (2) для простых близнецов на примере пар и троек.
(11,13,17,19,29,31,41,43), (101,103,107,109), (179,181,191,193,197,199), (269,271,281,283), (419,421,431,433), (809,811,821,823,827,829), (1019,1021,1031,1033), (1049,1051,1061,1063), (1277,1279,1289,1291,1301,1303), (1481,1483,1487,1489), (1781,1783,1787,1789), (1871,1873,1877.1879), (1991,1993,1997,1999),…
Остальные простые близнецы до 2000 – это близнецы-одиночки.
Наблюдение: последнее число пар и троек принадлежит прогрессии 30k+13 или прогрессии 30k+19. Число из прогрессии 30k+1 встречается последним только в простых близнецах-одиночках.
 Формула (2) это решето близнецов.