Космология... чисел

Мир чисел – это не только ценная теория (теория чисел – раздел высшей математики), но и 3-4 кг легко усваиваемых идей. Идей, разумеется, гениальных, но, как и полагается, пока не признанных наукой. Кто первый переубедит науку – получит Нобелевскую премию.) Поэтому – спешите, коллеги!

В благословенной Википедии размещена большая статья «Цифровая физика», оттуда я выбрал главные положения (синим цветом), которые немного поясню. Цифровая физика (в физике и космологии) – это совокупность теоретических взглядов, проистекающих из допущения, что Вселенная по сути описывается информацией и, следовательно, является вычислимой. Из этих предположений следует, что Вселенная может пониматься как результат работы некоторой компьютерной программы или как некий вид цифрового вычислительного устройства или, по крайней мере, устройства, математически изоморфного такому устройству.

Так вот, по сути дела, моя теория – виртуальная космология – утверждает, что мир чисел математически изоморфен «некому виду цифрового вычислительного устройства» (о котором говорит цифровая физика). Чтобы данное утверждение стало более понятным читателю – рекомендую прочитать мои пояснения к термину «изоморфизм» (в приложении к данной статье). Мир чисел, вообще говоря, описывается теорией чисел – это очень обширный (в принципе бесконечный) и довольно сложный раздел высшей математики. Моя виртуальная космология тоже добавляет некие «крохи» новых гипотез к теории чисел, хотя математики-профессионалы на этот факт никогда не обратят никакого внимания?  

 В части п. 1 Википедия добавляет, что не каждая информационная онтология должна быть цифровой. Онтология (в информатике) – это попытка всеобъемлющей и детальной формализации некоторой области знаний с помощью концептуальной схемы. Обычно такая схема состоит из структуры данных, содержащей все релевантные (адекватные) классы объектов, их связи и правила (теоремы, ограничения), принятые в этой области. Онтологии используются в процессе программирования как форма представления знаний о реальном мире или его части. Основные сферы применения – моделирование бизнес-процессов, семантическая паутина, искусственный интеллект.

Идеями, похожими на цифровую физику, являются теория протоальтернатив Карла Фридриха фон Вайцзеккера, панкомпьютационализм, вычислительная теория Вселенной, теория «вещества из информации» («it from bit») Джона Уилера и гипотеза математической Вселенной («Конечный ансамбль») Макса Тегмарка. См. мою статью «Про наших двойников»: ключевые (самые «интересные») цифры из теории Тегмарка ещё в 2004 году я изложил в книге «Зеркало Вселенной» (в гл. 10).

Добавлю также, что учеными придумана и так называемая цифровая философия, которая исходит из предположения,  что вселенная – это гигантский… Тьюринг-полный клеточный автомат. Цифровая философия пытается решить некоторые сложные вопросы в философии сознания и философии физики. Поскольку я вообще негативно отношусь к философии (от гуманитариев), то прочитайте об этом сами в Википедии.

Лично для меня, очевидно, что виртуальная космология основана (в той или иной мере) на всех пяти выше указанных гипотезах. Таким образом, виртуальная космология – это идея, также похожая на цифровую физику. И даже приведу более смелое утверждение виртуальная космология – это одна из ипостасей цифровой физики. Однако, если саму цифровую физику признает лишь мизерная часть настоящих ученых, то нет ничего удивительного в том, что моя (дилетантская, от инженера-механика) виртуальная космология в полном смысле буквально «оскорбляет» сами понятия «ученый» и «наука»? Но чудится мне, что когда на Западе (или за океаном, или на Востоке) выскажут подобные (фактически, мои?!) гипотезы – их с интересом рассмотрят и российские ученые (поэтому – нет пророка в своём отечестве).

Для людей искушенных в точных науках ниже я приведу ключевые положения моей виртуальной космологии. И там мой незатейливый термин «отражает», вероятно, правильней было бы заменить научным термином «изоморфен» (см. прилож.). Однако это отпугнет и без того редких моих читателей. Кстати, я не обманываюсь, что меня кто-то читает («от» и «до», вникая в формулы и т.п.) – так поступают считанные единицы, ведь подавляющее большинство читателей формулы просто «не переваривает». Признаюсь, что и мне «чужие» формулы читать тяжело; более того, даже «свои» формулы воспринимаю «под настроение». Все остальные читатели  – от невежественных до знающих точные науки – только окидывают беглым взглядом мой текст и… им всё «ясно» (для «знающих» – без кавычек). Итак, ниже идут основные тезисы виртуальной космологии.

1. Бесконечный ряд простых чисел (2, 3, 5, 7, 11, 13,…), как известно, строит (в каноническом виде) ВСЕ натуральные числа. Поэтому простые числа «отражают» «кирпичики» мироздания: фундаментальные частицы – в стандартной физической модели; квантовые струны – в теории струн и т.д.

2. Бесконечный мир натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…) является в принципе абсолютно вычислимым (там нет места «чистой» случайности). То есть появление простых чисел нам только кажется случайным процессом.

3. Количество (K) простых чисел на отрезке [e; N] – это «отражение» некой фундаментальной энергии (отрезка, числа N), при этом (условно): K = N/lnN (что доказано в теории чисел).

4. Каждое обычное вещественное число (N ≥ e) имеет равномощное проточисло П (из интервала от 1 до числа e ≡ 2,718…) с равной ему энергией: N/lnN ≡ П/lnП. Значит, и каждое простое число, начиная с 3, имеет равномощное проточисло П. Проточисла П «отражают» эпоху Вселенной перед эпохой Хаоса (ошибочно называемой в космологии «Большим взрывом»?).

5. Среднее расстояние (по числовой оси) между простыми числами на отрезке [e; N] равно lnN и это – «отражение» масштабного фактора Вселенной (его пространства-времени). Это понятие (lnП) не теряет смысла и для протопростых чисел.

6. Время t ≡ lnlnN (это просто постулат) «отражает» то, что в классической физике понимают под термином «время». В области проточисел П время t ≡ lnlnП приобретает знак «минус»  – это обратное, отрицательное время. При N ≡ e, то есть в эпицентре Хаоса, где не работают (ещё просто «не родились») законы теории чисел, время обращается в ноль (нуль): t = 0.

7. Наше «сегодня» (возраст Вселенной равен 13,798 миллиардов лет) на числовой оси «отражает» момент t ≡ 1/ПТС ≈ 137 (вв), где ПТС – это постоянная тонкой структуры –важнейший и безразмерный физический параметр Вселенной (который изменяется со временем, как и все «константы»). То есть, для единиц виртуального времени (вв) мы получаем такую «тарировку»: 1 вв ≈ 100.688.871 год (при N ≡ e^e ≈ 15,15). И столь большое время не совместимо с понятием «… взрыв»?

8. Шкала размеров на числовой оси задается такой гипотезой: в момент t ≡ 1/ПТС важный параметр мира чисел V ≡ lnN/lnlnN равен скорости света в вакууме (299.792.458 м/сек). То есть, скорость света – это функция времени: V ≡ exp(t)/t, поэтому в момент «Большого взрыва» всё было не так просто? Для виртуальной единицы длины (вед) получаем «тарировку»: 1 вед = 3,9945*10^–34 м (почти 25 планковских длин).

9. Логарифм количества (K) простых чисел (то есть параметр lnK ≈ e^t – t) «отражает» количество элементарных «событий», происходящих во Вселенной на фундаментальном уровне (скажем, на уровне квантовых струн). Таким образом, время t – это логарифм количества «событий» (для очень больших чисел N, при нашем «сегодня», когда K ~ N). Всё это в принципе объясняет ускорение «темпа событий» в природе (скажем, геохроноогическую шкалу) и в жизни человечества (закон Мура, технологическую сингулярность, и т.д.).       

10. В мире проточисел П и обычных чисел N масштабный фактор (М) – это некая функция времени t, причем можно взять первую производную (М’ ≡ dM/dt) и вычислить «параметр Хаббла» (Х ≡ M’/M), как некую функцию от времени: Х = f(t), которая качественно похожа (?) на космологический параметр. При этом мир чисел «подсказывает» нам, что «Большого взрыва» не было, а была переходная область Хаоса, в которой «параметр Хаббла» «просто» радикально изменил своё «поведение» (и там почти не было элементарных «событий»).

11. «Сегодня» [то есть при t ≡ 1/ПТС ≈ 137 (вв), когда N ≈ e^(e^137) (вед)] реальное максимально возможное расстояние между простыми числами будет порядка (lnN)^2 ≈ 8*10^118 (вед) ≈ 3,2*10^85 м – это минимальный радиус ВСЕЙ Вселенной (просто гипотеза). Поэтому, если видимую Вселенную (радиусом 4,32*10^26 м) мысленно уменьшить до планковского размера, то тогда ВСЯ Вселенная займет размер видимой Вселенной.

Все подробности выше сказанного можно найти в моих «свежих» книгах: «Новая виртуальная космология (11.2013)» и «Большой взрыв, которого… не было?» (на портале «Техно-Сообщество России»,  http://technic.itizdat.ru/users/iav2357 ).

 

 

Изоморфизм (термин образован от древне-греческих слов: «равный, одинаковый, подобный» и «форма») – это очень важное и общее понятие, которое употребляется в различных разделах математики. Об изоморфизме я рассказу на конкретном примере. В интернете есть Энциклопедия целочисленных последовательностей (англ. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS) – интернет-энциклопедия, содержащая целочисленные последовательности. Автор и хранитель сайта – Нейл Слоан (род. в 1939 году) – американский и английский математик, его научные интересы лежат в области теории кодирования, комбинаторики и задач упаковки шаров. На январь 2012 года его энциклопедия содержала более 200 тысяч последовательностей. Кстати, осенью 2009 года и я посылал туда свои «интересные» (новые!) числовые последовательности, однако результат, увы, нулевой (без всякого ответа). Возможно, потому, что моя виртуальная космология делает бессмысленной энциклопедию Слоана, ведь моя космология чисел позволяет легко построить бесконечно много целочисленных последовательностей… . Так вот, в этой энциклопедии под номером A000108 значатся так называемые числа Каталана: 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, …. Эти числа не столь известны, как числа Фибоначчи, но они не менее значимы и возникают в самых неожиданных местах, особенно при решении комбинаторных задач. По некоторым компетентным оценкам числа Каталана – это наиболее часто (!) встречающаяся последовательность, однако, она всё еще недостаточно известна даже среди математиков (см. мою книгу «Параллельные миры II…», гл. 2.4).

Указанные числа (Каталана) открыл вездесущий гений – Леонард Эйлер (1707 – 1783), когда занимался триангуляцией выпуклых многоугольников, то есть разбиением их на треугольники с помощью непересекающихся диагоналей всевозможным количеством способов (пример комбинаторной задачи). Оказалось, что количество (К) способов разбиения для треугольников равно 1, для четырехугольников – равно 2, для пятиугольников –5, для шестиугольников – 14, для семиугольников – 42, и т. д. Гениальный Эйлер получил точную формулу для этого ряда чисел

К = [2*6*10*…*(4*n – 10)]/(n – 1)!  ,                   (1)

где n = 3, 4, 5, 6, 7, … – количество сторон многоугольника.

Бельгийский математик Э. Ш. Каталан (1814 – 1894) в 1838 году доказал, что Эйлерова триангуляция многоугольников изоморфна (подобна) комбинаторной  задаче расстановки скобок, то есть внутреннее «устройство» (природа) этих двух задач совершенно одинакова и изучение свойств одной системы (её объектов) в значительной мере сводится к изучению другой системы. Задача расстановки скобок при наличии двух букв имеет 1 решение – (ab); при наличии трех букв есть 2 способа – ((ab)c) и (a(bc)); при наличии четырех букв есть 5 способов – ((ab)(cd)), (((ab)c)d), (a(b((cd))), (a((bc)d)), ((a(bc))d), и т. д., причем внутри каждой пары скобок (одной «открывающей» и одной «закрывающей») всегда должны находиться 2 «терма» (любые две буквы или буква и соседняя группа символов, заключенная в скобки). Таким образом, мы также приходим к числам Каталана. Смысл изоморфизма поясняет рис. 1 (см. выше по ссылке), на котором представлена триангуляция семиугольника (один из 42-х способов разбиения его на треугольники) и соответствующая ей расстановка скобок для шести букв (один из 42-х возможных способов).

Практически невозможно перечислить все обнаруженные примеры изоморфизма чисел Каталана. Мы только перечислим некоторые из них (для самостоятельных справок читателя). Так, числа Каталана легко обнаружить в треугольнике Паскаля, для этого необходимо опускаться по центральному столбцу (1, 2, 6, 20, 70, …) и из каждого «центрального» числа вычитать соседнее число, скажем, стоящее слева от него (сам треугольник играет весьма важную роль в комбинаторике). Числа Каталана указывают количество плоских, тривалентных посаженых деревьев (связанных графов), и позволяют пересчитывать нормальные посаженые деревья. Числа Каталана дают ответ на вопрос о том, сколько различных траекторий существует для шахматной ладьи на доске, у которой n*n клеток. Если 2n точек на окружности соединить попарно хордами всеми возможными способами, то общее число таких хорд есть число Каталана. Общее число состояний для всех разновидностей правильных гексафлексгонов с n «гранями» задается числом Каталана (гексафлексгоны – забавные игрушки из прямых и фигурных полосок бумаги, особым образом сложенных в виде правильных шестиугольников, при перегибании они проходят различные состояния). Числа Каталана показывают, сколько различных полиомино может очертить один человек за n шагов в случайно выбранном направлении.

Последовательность Каталана не стоит путать с числами Белла: 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, …, которые “пересчитывают” разбиения n элементов (числа названы в честь Эрика Т. Белла). Например, число схем рифмующихся строк в стихотворении из n  строк есть не что иное, как числа Белла. Так, четверостишие (n = 4) может быть зарифмовано 15 возможными способами: a, aa, ab, aaa, aab, aba, abb, abc, aaaa, aaab, aaba, abaa, abbb, aabb, abba, abab (это единственная схема с “пересечением”), aabc, abac, abca, abbc, abcb, abcc, abcd. Числа Каталана “пересчитывают” схемы рифм без “пересечений”, а числа Белла – все возможные схемы, в том числе с “пересечениями”. Числа Каталана, а вернее многие комбинаторные задачи, в которых они возникают, имеют непосредственное отношение к реальному миру, и, аналогично числам Фибоначчи, они отражают гармоничную сущность окружающего нас мира.

Точная формула для n-го числа Каталана имеет вид:

N = (2*n)!/n!/(n + 1)!  ,                            (2)

где n = 1, 2, 3, 4,… – номер числа в последовательности Каталана. Однако при расчете на компьютере эта формула позволяет добраться только до 85-го числа, т. к. при n = 86. Но если в начале последовательности Каталана добавить еще одну единицу: 1, 1, 2, 5, 14, 42, …, то будет работать следующая рекуррентная формула (не менее красивая формула):

Nn + 1 = Nn *(4*n – 6)/n  ,                        (3)

где n = 1, 2, 3, … – номер числа в последовательности (N1 ≡ 1). И теперь компьютер легко «добирается» до конца Большого отрезка (N ≈ 8*10^60), который находится между 106 и 107 числами Каталана, а предел для ПК – это n = 515. Здесь и в дальнейшем нумерация чисел Каталана всегда соответствует точной формуле, то есть ряду чисел с одной единицей в начале: 1, 2, 5, 14, 42, … .