Составные и простые.

Вы меня друзья настрополили на эту задачу. А "мы не привыкли отступать".
Иду своим малообразованным путём. Но что-то уже вижу. Мож это и детский сад, но упражнения для мозгов - хорошие.
Почему ряды 6K+-1?
- Потому, что без пропусков всех простых и всех составных, требующих факторизации.
- Потому, что мы можем перейти на другое решето по k (ведь без пропусков):
1. Для ряда 6k+1:
составные по модулю 7 (к7=1):
к=8,15,22,29,36...=7n+1=7n+k7
составные по модулю 13 (k13=2):
к=15,28,41,54...=13n+2=13n+k13
составные по модулю 19 (к19=3)
k=22,41,60,79...=19n+3=19n+k19
и т.д.
2. По ряду 6k-1 - аналогично...

Остальные k естественно соответствуют простым.

Тут мне мой друг - Владимир - подсунул факторизацию по квадратным отстаткам (Ферма метод), спасибо! :о) Хорошо, докажем малость утверждений через эти скобки :о)
Если уж любое составное N (нечётное [модуль 2 прошли уже - это хорощо :о)]) можно записать как N=(m+n)(m-n), то возьму своё любимое [модуль 3 тоже уже прошли :о)]:
6k+1=(m+n)(m-n)

Простые утверждения:
1) Если k - чётно, то составное может быть только при m=6a+-1, n=6b. Где m=6a+1 для ряда 6k+1=(6x+1)(6y+1), а m=6a-1 для ряда 6k+1=(6x-1)(6y-1).
2) Если k - нечётно, то ....
3),4) для ряда 6k-1....

Привести это простое доказательство?

Хоть бы чё понял?...
А вы не можете простыми словами сказать, что хочете найти?

Владимир Привалов пишет:Хоть бы чё понял?...
А вы не можете простыми словами сказать, что хочете найти?

Пока обратно на ты не перейдёшь - ничего не расскажу больше, хотя есть и тебе в копилку тоже

Я и не переходил. Я думал что вы вдвоём с Гэм'ом всё это разрабатываете... Обрати внимание, что "вы" с маленькой буквы.

Понял. Гэм-а пока не трогаем, ему нельзя волноваться, а только радоваться и жить. Поработаю пока один. Или с тобой, что тоже здорово!
Я ищу вилку в рядах, при которой должны выскочить подмножества простых с точным прицелом, например, на близнецов. То что пока написал - это прилюдия. Хотел, чтобы пока это было понятно или вопросы. А то ведь дальше всё сложнее будет рассказывать. Давай вопросы. Дальше не пойду, пока это не ратолкую! :arrow:

Так я вообще не в теме. Знаю только то, что ряд простых расходится (Эйлер доказал). Знаю, что ряд близнецов сходится. Число Бруна 1.902 примерно. А у тебя ведь там смесь простых и составных...

Всё так. Сказал же - ищу вилку. Почему такой разброс и никакой алгебраической прямой зависимости в этих простых-составных?
Берём множество горячих макарон слипающихся (пардон, сходящихся). Поливаем соусом разлипающим макароны (пардон, расходящийся). НО, смесь макароны-соус не в одной локальной области не равномерна (где слиплось, где разлиплось). Нужна хитрая вилка с таким количеством зубцов, которое подходит под эту именно специфическую смесь с определённым объёмом локальной области. Этой вилкой перемешиваем и получаем равномерное блюдо, которое получено ВИЛКОЙ, а не исходной смесью!

Ээээ, нееет. Здесь нужны чёткие входящие данные. Иначе ты в этих макаронах запутаешься наглухо.

Прааильнно, с них - этих (данных что ль) - и начал...

Михаил Полянский пишет:Прааильнно, с них - этих (данных что ль) - и начал...

Да это как раз я и понял. Но не понял, ЧТО найти хочешь?

Тогда просто пойду дальше. Вплоть до формул этих макарон с соусом. Но потом не жалуйся, что не понял, как и откуда эти формулы взялись

Михаил Полянский пишет:Вы меня друзья настрополили на эту задачу. А "мы не привыкли отступать".
Иду своим малообразованным путём. Но что-то уже вижу. Мож это и детский сад, но упражнения для мозгов - хорошие.
Почему ряды 6K+-1?
- Потому, что без пропусков всех простых и всех составных, требующих факторизации.
- Потому, что мы можем перейти на другое решето по k (ведь без пропусков):
1. Для ряда 6k+1:
составные по модулю 7 (к7=1):
к=8,15,22,29,36...=7n+1=7n+k7
составные по модулю 13 (k13=2):
к=15,28,41,54...=13n+2=13n+k13
составные по модулю 19 (к19=3)
k=22,41,60,79...=19n+3=19n+k19
и т.д.
2. По ряду 6k-1 - тоже самое (проделайте сами) :о)

Что делать-то?
Где доказательство утверждения?
Иль мы обязаны доказывать твои утверждения?

Остальные k естественно соответствуют простым.

С какой стати?

Но это всё - ещё только предтеча детского сада. Продолжим.

Продолжим детский сад.
Михаил, ты утверждаешь, что формула 6k+-1 охватывает все состаные числа, состоящие из двух простых.
На каком основании?

Посмотрим на ряд натуральных чисел:

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-...

Красный ряд: 6k-1
Синий ряд: 6k+1

Чёрный ряд - это все остальные натуральные числа - числа кратные 2 и числа кратные 3.

Из двух близнецов: один принадлежит ряду 6k-1, другой принадлежит ряду 6k+1, при одном k.
Например, k=3, 6х3-1=17, 6х3+1=19 - получаем 17,19

Что-то, коллеги, я вас с трудом понимаю.
Шибко лексикон заумный.
Нельзя ли более демократично, с заботой о читателе, в терминах "Если..., то..."
Без макарон по-флотски.

Теперь по делу.
Пусть M фиксировано.
Тогда любое натуральное n принадлежит одной из M арифметических прогрессий A(r)={Mk+r; k=...-1,0,1,2... }, а r - остаток от деления n на M (r = 0,1,...,M-1).
Ясно, что простые могут принадлежать только прогрессиям, у которых "идентификатор" r взаимно прост с М.
При M = 6 таких прогрессий две с r = 1, r=5.
Именно в них и лежат все простые.
Для произвольного M есть простые формулы для вычисления количества r, взаимно простых с М.
То есть, для количества прогрессий, где МОГУТ лежать простые.
Например, для
М = 17 таких прогрессий 16,
для
М= 24 таких прогрессий 8,
для
М=720 таких прогрессий 192
и т.д.

(Читать в Вики "Функция Эйлера")

Михалыч пишет:Что-то, коллеги, я вас с трудом понимаю.
Шибко лексикон заумный.
Нельзя ли более демократично, с заботой о читателе, в терминах "Если..., то..."
Без макарон по-флотски.

:о)
Просто мы тут с Владимирами договорились разжёвывыть всё друг другу. А птому и лексикон меняю (экспериментирую), чтобы найти нужный диалект :о)

Михалыч пишет:Теперь по делу.
Пусть M фиксировано.
Тогда любое натуральное n принадлежит одной из M арифметических прогрессий A(r)={Mk+r; k=...-1,0,1,2... }, а r - остаток от деления n на M (r = 0,1,...,M-1).
Ясно, что простые могут принадлежать только прогрессиям, у которых "идентификатор" r взаимно прост с М.
При M = 6 таких прогрессий две с r = 1, r=5.
Именно в них и лежат все простые.

Вот теперь хочется спросить Владимиров. Кто понятней объяснил одно и тоже? Вполне уверен, что Вы, Михалыч. Но разжевал всё же я :о)

Михалыч пишет:Для произвольного M есть простые формулы для вычисления количества r, взаимно простых с М.
То есть, для количества прогрессий, где МОГУТ лежать простые.
Например, для
М = 17 таких прогрессий 16,
для
М= 24 таких прогрессий 8,
для
М=720 таких прогрессий 192
и т.д.

(Читать в Вики "Функция Эйлера")

Спасибо. Да, прогрессии. Да их много, но хучь с одной разобраться бы.

Михалычу.
Подскажите, пожалуйста, как называется произведение простых близнецов? Например, число 17х19=323.

Подскажите, пожалуйста, как называется произведение простых близнецов?

"произведением простых близнецов" :))

(тупо)Так мы что ищем?
Простые или их произведения?

Чисто - тупо. Мы ПОКА локализовали область поиска. И готовы будем искать их всех -завтра. И простые, и составные из простых, и близнецы - если кому надо. :о)

Пусть число N представлено N=6k+1. Запишем N-составное, как N=(m+n)(m-n).
Тогда 6k+1=(m+n)(m-n).
Рассмотрим два случая:
1) m - нечётное, m=2v+1
n - чётное, n=2w
2) m - чётное, m=2v
n - нечётное, n=2w+1

1) 6k+1=m^2-n^2= (2v+1)^2 - (2w)^2 = 4(v^2+v-w^2)+1
3k=2(v^2+v--w^2) , следовательно k-чётное!

2) Проделайте сами

Как верно говорит Владимир (что мы ищем?). Как верно говорят, но переверну на свой лад (не алгебруются по отдельности простые и составные). Вот и надо пока выписывать всю смесь. А если пытаться сразу отделить простое от составного, то, пожалуйста, читаем учебную литературу.

Например. Не все чётные k (1), и не все нечётные k (2) - соответствуют составным. Да и не все m и n. .

Гэм, действительно ничего не понятно? Продолжить доказательство, например, m=6a+-1, n=6b ? Сам же спросил меня, откуда берутся эти сотни разов сокращения алгоритма.

Михаил Полянский пишет:Как верно говорит Владимир (что мы ищем?). Как верно говорят, но переверну на свой лад (не алгебруются по отдельности простые и составные). Вот и надо пока выписывать всю смесь. А если пытаться сразу отделить простое от составного, то, пожалуйста, читаем учебную литературу.

Например. Не все чётные k (1), и не все нечётные k (2) - соответствуют составным. Да и не все m и n. .

Гэм, действительно ничего не понятно? Продолжить доказательство, например, m=6a+-1, n=6b ? Сам же спросил меня, откуда берутся эти сотни разов сокращения алгоритма.

Действительно ничего не понятно.
Не понимаю, зачем нужно находить простые числа-их найдено столько, сколько никому не требуется.
В чём смысл заморачиваться с ними?
Решительно непонятно, что нового может дать формула 6k+1=m^2-n^2?
Ну, вот-разве что.
m=k+a
n=k+b
6k+1=2ak-2bk+a^2-b^2
k=(a^2-b^2-1)/(6-2a+2b)
Есть смысл обсуждать условия целочисленности k?
Я-за.

6k+1=91
k=15
m=10
n=3
a=-5
b=-12

:о)))